동남구수학과외

경우의 수 활동지에는 0과 1로 만든 길이 5의 문자열 가운데 1이 적어도 하나 있는 경우를 구하는 문제가 있었다. 답안에는 ‘첫째 자리가 1’, ‘둘째 자리가 1’처럼 다섯 묶음이 나뉘어 있었지만, 11000은 첫째 자리와 둘째 자리가 모두 1이므로 두 묶음에 동시에 표시되어 있었다.

위치별로 나눈 뒤 겹침을 확인하지 않은 답안

학생은 ‘적어도 하나’라는 조건을 각 위치별 경우로 나누어 더하면 된다고 판단했다. 그러나 위치를 기준으로 만든 묶음들이 서로 겹치지 않는지 확인하지 않아, 여러 개의 1을 가진 문자열을 반복해서 세게 되었다.

문제는 1의 위치를 찾지 못한 데 있지 않았다. 각 위치별 분류가 배타적인지 점검하지 않은 것이 기록에서 드러난 실제 원인이었다. 위치가 하나로 정해진 경우라면 묶음끼리 겹치지 않지만, ‘어느 위치에든 1이 있다’는 분류는 1이 여러 개일 때 중복을 만든다.

조건의 반대 사건을 먼저 적은 새 풀이

학생은 조건을 직접 나누기 전에 반대 사건을 문장으로 적었다. 길이 5의 이진 문자열 전체는 각 자리마다 0 또는 1을 선택하므로 2⁵=32개이고, 1이 하나도 없는 문자열은 00000 한 개뿐이다. 따라서 1이 적어도 하나 있는 문자열은 32-1=31개로 계산했다.

교정한 뒤에는 길이 2의 작은 사례인 00, 01, 10, 11도 확인했다. 전체 4개에서 1이 하나도 없는 00 한 개를 빼면 3개가 되어, ‘적어도 하나’와 그 반대 사건을 이용한 방식이 중복 없이 작동하는지 검산할 수 있었다.

길이와 조건이 바뀐 자료에서 확인한 적용

다음 자료는 길이 6의 이진 문자열 중 0이 적어도 하나 있는 경우를 묻고 있었다. 이번에는 학생이 위치별로 나누지 않고, 전체 2⁶=64개에서 0이 전혀 없는 111111 한 개를 먼저 제외해 63을 구했다.

자리 수가 5에서 6으로 바뀌고 조건의 대상이 1에서 0으로 달라졌지만, 반대 사건을 먼저 쓰는 절차는 그대로 꺼내 사용할 수 있었다. 앞으로는 조건 문구와 자리 수를 확인한 뒤 반대 사건을 문장으로 적고, 필요한 경우 작은 사례로 겹침 여부를 점검하면 완료로 본다.