청당지구수학과외

좌표평면에는 A(1,2)와 B(5,5)가 표시되어 있었고, 두 점 사이에는 가로 4와 세로 3으로 이어진 길이 7의 꺾은선이 그려져 있었다. 하지만 문제에서 요구한 것은 이동 경로의 길이가 아니라 A와 B를 직접 잇는 대각선의 길이였다.

처음 식에 남은 7은 어떤 길이였을까

공책의 첫 식은 |5-1|+|5-2|=7이었다. 학생은 x방향으로 4, y방향으로 3만큼 이동했으므로 두 변화량을 더하면 두 점 사이의 거리라고 판단했다.

답안 그림에도 A에서 B까지 가로로 이동한 뒤 세로로 올라가는 꺾은선만 남아 있었고, 두 점을 잇는 대각선은 표시되지 않았다. 따라서 7이라는 계산 자체가 틀렸다기보다, 계산한 값이 직선거리가 아닌 꺾은선 경로의 길이라는 점을 구분하지 못한 기록이었다.

가로 4와 세로 3을 직각변으로 만드는 표시

기록을 다시 연결해 보니 절댓값 계산이 원인은 아니었다. Δx와 Δy를 두 점 사이의 직선거리로 본 것이 아니라, 직각삼각형을 이루는 두 직각변으로 그림에 만들지 않은 데서 판단이 어긋났다.

수정한 좌표평면에는 A와 B를 잇는 대각선을 새로 긋고, 가로 변화량 4와 세로 변화량 3을 점선으로 표시했다. 이어서 대각선 길이를 d라고 두고 d²=4²+3², d=5를 적었다. 기존의 7은 지우지 않고 ‘꺾은선 경로 길이’라고 따로 메모해 서로 다른 대상을 분리했다.

공식에 들어가는 각 수가 어디에서 나온 것인지도 화살표로 연결했다. 4와 3은 각각 Δx와 Δy에서 나온 직각변이고, 구하려는 d는 그 삼각형의 빗변이라는 관계를 식과 그림에서 동시에 확인하는 방식이었다.

음수 좌표에서도 먼저 나타난 변화량 표기

이후 새 자료에서는 C(-2,1)과 D(4,-7) 사이의 거리를 구했다. 위치와 좌표의 부호가 달라졌지만, 학생은 먼저 Δx=6, Δy=-8을 적고 좌표평면에 직각삼각형을 만들었다.

그 다음 √(6²+(-8)²)=10을 계산했다. 음수인 세로 변화량도 제곱합에 들어가면 거리 계산에서 양의 길이로 반영된다는 점을 식의 순서 안에서 처리한 것이다.

다음 좌표쌍에서도 두 점을 잇는 직선과 가로·세로 변화량이 각각 표시되어 있는지 확인한다. Δx와 Δy의 부호를 포함해 제곱합을 만들고, 그림의 빗변 길이와 최종 식이 일치하면 풀이가 완료된 것으로 본다. 변화량을 먼저 단순히 더한 뒤 공식만 덧붙인 경우에는 같은 기준이 유지된 것으로 보지 않는다.