만수지구수학과외

함수 그래프 문제지에는 F(x)=∫₀ˣf(t)dt의 그래프 성질을 묻는 문항이 있었다. 답안에서 학생은 주어진 f의 곡선을 축척만 바꾸어 F의 그래프로 그대로 옮겼고, f가 음수인 구간에서도 F를 증가하게 그렸다. F와 f의 극값 위치와 굽은 모양이 거의 같았지만, 적분 구간의 넓이를 누적한 표시나 F′(x)=f(x)라는 식은 남아 있지 않았다.

처음 판단 기준은 적분함수를 원래 함수의 그래프를 넓이만큼 변형한 같은 모양의 함수로 보는 것이었다. 그래서 f의 값이 F의 높이를 직접 정한다고 생각했고, f가 F의 기울기를 정한다는 관계는 풀이에 사용하지 않았다.

높이를 옮긴 그림에서 빠져 있던 두 가지 관계

답안의 문제는 단순한 그래프 복사나 계산 실수로만 설명되지 않았다. F(x)는 0부터 x까지의 부호 있는 누적넓이로 정해지고, 동시에 F′(x)=f(x)이므로 f의 부호는 F의 증감을 결정한다. 이 두 역할을 분리하지 않았기 때문에 f가 x축 아래에 있는 구간에서도 F를 계속 올라가게 그린 것이다.

교정할 때는 f 그래프 아래에 세 줄을 만들었다. 첫 줄에는 구간별 부호를, 둘째 줄에는 F의 증감 방향을, 셋째 줄에는 부호 있는 누적넓이를 적었다. x축 위 구간에는 ‘증가’, 아래 구간에는 ‘감소’를 표시하고, 기준점의 F값에서 출발해 각 구간의 넓이를 더하거나 빼며 F의 상대적 위치를 차례로 연결했다.

이 절차가 같은 문제에만 머무는지 확인하기 위해 영점과 양·음 구간의 위치가 달라진 새 조각그래프를 제시했다. 학생은 이번에는 F의 모양을 바로 그리지 않고 f의 부호표를 먼저 만들었다. 이어 증가·감소 구간과 극값 후보를 표시한 뒤, 구간별 누적넓이로 F의 상대적 값을 배치했다.

다음 자료에서도 F′=f를 이용해 증감 구간을 먼저 정하고, 부호 있는 넓이를 일관되게 반영하면 이 교정이 유지된 것으로 본다. f의 곡선을 축척만 바꾸어 F에 다시 복사했다면 정답 여부와 관계없이 풀이 기준은 아직 완료되지 않은 것으로 판단한다. 만수지구수학과외에서 확인할 지점도 이처럼 그림의 외형보다 첫 표시와 연결 절차에 있다.