복현동수학과외

고3 시그마 공책에서 먼저 눈에 들어온 것은 서로 다른 두 줄이었다. 첫째 항부터 셋째 항까지 펼친 줄에는 1+3+5가 적혀 있었지만, 식을 나눈 뒤 상수항 칸에는 -1만 남아 있었다. 같은 식을 펼쳤을 때와 분리했을 때 상수항의 개수가 달라진 셈이다.

1+3+5와 -1 하나 사이에서 빠진 표시

학생은 Σ(k=1부터 n까지)(2k-1)을 2Σk-1로 정리했다. 합 기호 안의 -1이 k와 무관하므로 전체 합에서도 한 번만 계산하면 된다고 판단했기 때문이다. 이때 시그마가 각 k값에 대해 식 전체를 반복 적용한다는 점은 상수항에까지 이어지지 않았다.

답안에는 Σ1이 항의 개수 n과 같다는 표시가 없었다. 따라서 문제의 시작점은 소거항이나 경계항이 아니며, 식을 선형성에 따라 나눈 뒤 Σ1=n을 반영하지 않은 데 있었다. 정확한 분리는 2Σk-Σ1이고, 이를 계산하면 2·n(n+1)/2-n=n²이 된다.

상수항을 항마다 다시 세어 본 줄

교정할 때는 공식을 바로 외우는 대신 n=3인 경우를 먼저 펼쳤다. 1+3+5를 확인한 뒤, -1이 첫 번째 k값에서만 등장한 것이 아니라 세 항 각각에 들어 있다는 점을 표시했다. 그 다음 Σ(2k-1)=2Σk-Σ1로 나누고, Σ1을 별도 줄에 적어 항의 개수인 n으로 바꾸었다.

+2가 붙은 새 합에서 확인한 독립 적용

같은 문제를 다시 계산한 것이 아니라, 조건을 바꾼 Σ(k=1부터 m까지)(3k+2)에서 새 기준을 꺼냈다. 이번에는 +2를 한 번만 더하지 않고 3Σk+2Σ1로 분리했다. 이어서 Σ1=m을 적용해 3m(m+1)/2+2m을 완성했다.

다음 자료에서 확인할 기준도 답을 맞혔는지가 전부는 아니다. 일차식의 시그마에서 계수와 상수항을 분리하고, 상수항을 Σ1로 표시한 뒤 항 개수로 바꾸는 순서가 나타나야 한다. 작은 상한을 직접 펼친 합과 공식값까지 같으면 해당 풀이를 완료로 본다.