부곡동수학과외

고3 함수 노트에는 합성 화살표가 선명하게 남아 있었다. x→x²-1→√(x²-1)이라는 흐름은 그려져 있었지만, 가운데 값이 바깥 함수에 실제로 들어갈 수 있는지 적는 칸은 비어 있었고, 그 옆에는 h의 정의역이 ℝ로 표시돼 있었다.

연속성 정리를 기억한 뒤 빠진 한 줄

학생은 f(t)=√t와 g(x)=x²-1이 각각 연속이므로 합성함수 h(x)=f(g(x))도 모든 실수에서 연속이라고 판단했다. 여기서 사용한 기준은 ‘연속함수 두 개를 합성하면 연속’이라는 정리의 결론이었지만, 안쪽 함수의 값이 바깥 함수의 정의역에 들어가야 한다는 적용 조건은 확인하지 않은 상태였다.

따라서 처음부터 좌극한이나 우극한을 계산한 것이 문제의 시작은 아니었다. 바깥 함수 f의 입력은 t≥0이어야 하므로, g(x)의 값에 이 조건을 먼저 적용해야 했다.

√ 기호 앞에 넣을 수 있는 값부터 확인하기

g(x)=x²-1을 f의 입력 조건에 대입하면 x²-1≥0이다. 이를 풀면 x≤-1 또는 x≥1이므로, h(x)=√(x²-1)의 정의역은 모든 실수가 아니라 두 구간으로 나뉜다.

이제 정의된 범위 안에서 연속성을 판단해야 한다. √t는 t≥0에서 연속이고 x²-1도 모든 실수에서 연속이므로, 합성함수는 정의역인 (-∞,-1]과 [1,∞)에서 연속이라고 정리할 수 있다. 정의역을 구하는 줄과 연속성을 판정하는 줄을 분리하면, 연속이라는 결론이 어디에서 성립하는지도 함께 드러난다.

새 분모가 생긴 합성식에서 먼저 제외한 값

교정 뒤 새 자료에는 f(t)=1/(t-2), g(x)=x+1이 제시됐다. 이번에는 합성식을 정리하기 전에 바깥 함수의 조건 t≠2를 안쪽 함수에 적용해 x+1≠2, 즉 x≠1을 먼저 적었다.

그 결과 합성함수는 x=1을 제외한 정의역에서 정의되고, (-∞,1)과 (1,∞) 각각에서 연속이라고 설명할 수 있었다. 이전처럼 식만 정리한 뒤 정의역을 ℝ로 남기지 않고, 제외점과 연속 구간을 함께 기록한 점이 새 풀이의 확인 지점이었다.

다음 합성함수 문항에서도 바깥 함수의 입력 조건을 안쪽 함수값에 대입했는지, 계산된 정의역에서만 연속 구간을 말했는지를 살피면 된다. 식을 바르게 정리했더라도 제외해야 할 값을 빠뜨리면 이 절차는 완료된 것으로 보지 않는다.