비산동수학과외

고2 경우의 수 공책에는 서로 다른 여섯 명을 원탁에 앉히는 문항이 남아 있었다. 학생은 답을 일렬 배열과 같은 6!=720으로 적었고, 자리 그림에서도 여섯 칸을 각각 다른 자리 번호처럼 다루고 있었다.

자리 번호가 달라지면 모두 다른 경우였을까

처음 판단의 기준은 의자 위치였다. 여섯 칸이 눈에 보이게 구분되므로 사람이 어느 자리 번호에 앉는지가 달라지면 다른 배치라고 본 것이다. 하지만 원탁에서는 전체 배치를 한 칸씩 돌려도 사람 사이의 이웃 관계가 그대로 유지된다.

답안의 자리 그림에는 기준 인물이 없었다. 대신 같은 이웃 순서를 가진 배치를 한 칸씩 회전시켜 서로 다른 경우로 여섯 번 세었고, 회전한 두 배치를 겹쳐 같은 배치임을 표시한 흔적도 비어 있었다. 오류의 출발점은 6! 계산 자체가 아니라 회전으로 겹치는 여섯 배치를 하나로 묶지 않은 데 있었다.

A를 고정하자 계산 대상이 달라졌다

교정할 때는 A를 한 자리에 고정한 원을 먼저 그렸다. 그 뒤 남은 다섯 명이 배치될 자리만 번호를 붙이고, 회전 전후의 그림을 투명하게 겹쳐 같은 이웃 관계가 유지되는지 확인했다. 따라서 원탁 배열은 기준 인물 하나를 고정한 뒤 남은 다섯 명을 배열하는 5!=120으로 정리했다.

같은 문제의 답을 고치는 데서 멈추지 않았다. 새 문항에서 다섯 명이 원탁에 앉고 A와 B가 이웃해야 하자, 학생은 A와 B를 하나의 묶음으로 보았다. 네 대상을 원형 배열하는 (4-1)!에 묶음 내부의 순서 2를 곱해 12를 구했다.

다음 원순열 문제에서도 인원과 이웃 조건이 달라졌을 때 회전 중복을 먼저 제거하는지가 점검 대상이다. 기준 인물을 고정했는지, 또는 이웃 조건을 묶음으로 만들었는지 설명한 뒤 대상 수와 계산 과정을 적으면 풀이가 완료된 것으로 본다.