성당동수학과외

조건·결론 표시지에는 1+3=4가 적혀 있었고, 그 결과에는 동그라미가 그려져 있었다. 이어서 3+5도 짝수라는 표시가 남았지만, 두 예 사이의 일반식 칸은 비어 있었다. ‘두 홀수의 합은 짝수’라는 주장을 읽을 때 사례 확인과 모든 경우를 설명하는 과정이 한 답안 안에서 섞인 상태였다.

두 사례가 ‘항상’을 대신할 수 있었던 까닭

처음 학생이 사용한 판단 기준은 서로 다른 두 홀수에서 같은 결과가 나오면 모든 홀수 쌍에서도 성립한다는 것이었다. 1+3=4와 3+5=8을 차례로 적고 결과가 짝수라는 점을 확인했으므로, 사례의 수가 늘어나면 ‘항상 참’이라는 결론도 충분히 뒷받침된다고 본 것이다.

하지만 두 계산은 각각 선택한 숫자에 대한 확인일 뿐이다. 예로 들지 않은 홀수까지 포함하려면 어떤 홀수를 선택하더라도 같은 형태로 정리되는 이유가 답안에 나타나야 한다. 따라서 지운 식보다도, 예시를 넘어설 일반식이 비어 있었다는 점이 판단 오류의 시작을 보여 줬다.

홀수 두 개를 문자로 바꾸자 드러난 합의 형태

수정 칸에서는 첫 번째 홀수를 2m+1, 두 번째 홀수를 2n+1로 두었다. 두 수의 합은 다음처럼 정리된다.

(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1)

m과 n이 정수라면 m+n+1도 정수이고, 전체 합은 정수의 2배로 나타난다. 그러므로 두 홀수의 합은 짝수라는 결론이 특정 숫자 두 개가 아니라 임의의 두 홀수에 적용된다.

기존의 1+3=4를 없애지는 않았다. 그 계산은 예시 확인 칸으로 옮겨졌고, 2m+1과 2n+1을 사용한 식은 모든 경우를 설명하는 칸에 놓였다. 같은 답안 안에서도 예시는 결과를 보여 주고, 일반식은 결론의 범위를 설명하도록 역할을 분리한 것이다.

새 짝·홀 주장에서도 먼저 일반식을 꺼냈다

다음 자료에서 조건이 ‘홀수와 짝수의 합은 홀수’로 바뀌었을 때도 학생은 숫자를 골라 계산하지 않았다. 임의의 홀수를 2a+1, 짝수를 2b로 먼저 적고 합을 정리했다.

(2a+1)+2b=2(a+b)+1

a+b가 정수이므로 이 식은 홀수형 2k+1로 볼 수 있다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 조건이 달라진 새 주장에서도 ‘항상’이라는 표현에 맞는 풀이 절차를 혼자 꺼낸 장면이었다.

다음 점검에서는 정답을 몇 개 맞혔는지만 보지 않는다. 새로운 짝·홀 주장에 ‘항상’이 포함되어 있을 때 임의의 정수를 문자로 놓았는지, 짝수는 2k, 홀수는 2k+1 형태로 시작했는지, 마지막에 일반식으로 결론을 연결했는지를 확인한다. 예시 계산만 남아 있거나 결론 뒤에 일반식을 덧붙인 경우에는 아직 두 역할이 분리되지 않은 것으로 보고 다시 살핀다.

성당동수학과외에서 확인할 수 있었던 변화는 답의 개수보다 풀이 기록의 첫 줄에 있다. 이제 학생은 ‘항상’ 앞에서 특정 숫자를 먼저 고르기보다, 임의의 수를 문자로 나타내는 행동으로 증명의 범위를 열어 간다.