연수동수학과외

계산을 멈춘 줄에는 10x-x 아래에도 0.45454…가 남아 있었다. 처음에는 순환소수라면 10을 곱한 식에서 원래 식을 빼면 반복되는 소수가 사라질 것이라고 판단했지만, 실제 답안은 소수점만 한 칸 옮긴 흔적을 보여 주고 있었다.

반복되는 16을 한 묶음으로 읽지 못한 식

문제의 수는 0.161616…이었다. 학생은 먼저 x=0.161616…, 10x=1.61616…을 적었다. 그러나 두 식을 빼면 반복 부분이 없어지지 않았고, 뺄셈 결과에도 소수 전개가 계속 이어졌다.

이때 처음 사용한 기준은 ‘순환소수에는 항상 10을 곱한다’는 것이었다. 순환마디가 몇 자리인지와 곱해야 하는 10의 거듭제곱을 연결하지 않은 채, 익숙한 절차를 바로 적용한 셈이다.

계산 전 확인해야 했던 순환마디의 길이

답안에서 확인된 원인은 계산 능력보다 앞선 단계에 있었다. 반복되는 마디가 16처럼 두 자리인데도, 소수점을 한 칸만 옮겨 같은 반복 부분을 맞추려 했다. 따라서 필요한 식은 10x가 아니라 100x였다.

반복되는 두 자리를 표시하면 구조가 분명해진다.

0.161616…=[16][16][16]…

이 표시는 순환마디의 길이를 세는 기준이 된다. 마디가 두 자리이므로 소수점을 두 칸 옮겨야 원래 식과 뒤쪽 반복 부분이 같은 위치에 놓인다.

100x와 x를 세로로 맞춘 뒤 생긴 99x

교정된 풀이에서는 먼저 [16][16][16]을 표시하고 다음과 같이 적었다.

x=0.161616…
100x=16.161616…

두 식을 빼면 반복되는 소수 부분이 완전히 소거된다.

100x-x=16.161616…-0.161616…
99x=16
x=16/99

마지막에는 16/99를 다시 소수로 전개해 16이 반복되는지 확인했다. 분수로 바꾸는 데 성공했다는 판단을 답의 모양만으로 끝내지 않고, 원래 순환소수와 다시 연결한 것이다.

45가 반복되는 새 수에서 먼저 적힌 식

이후에는 같은 문제를 반복하지 않고 순환 숫자가 달라진 0.454545…을 새 자료로 사용했다. 학생은 마디 45를 두 자리 묶음으로 먼저 표시한 뒤, 혼자 100y-y를 세웠다.

y=0.454545…
100y=45.454545…
99y=45
y=45/99=5/11

새 문제에서 숫자와 문자가 바뀌었는데도 마디 길이에 맞춰 배수를 정했다는 점에서, 이전 식을 외운 것이 아니라 판단 기준을 새 조건에 맞게 꺼내 쓴 것으로 볼 수 있다.

다음 답안에서 볼 첫 표시와 소거 여부

앞으로의 완료 기준은 정답 개수가 아니다. 순환소수를 보았을 때 마디 길이를 먼저 표시했는지, 그 길이에 맞는 10의 거듭제곱을 정했는지, 뺄셈 뒤 반복 부분이 완전히 사라졌는지를 차례로 확인한다.

마지막으로 얻은 분수를 다시 소수로 전개해 같은 마디가 나오는지도 점검한다. 10만 곱한 식을 습관적으로 적었다면, 마디가 한 자리인지 두 자리 이상인지부터 다시 표시한다.