지묘동수학과외

‘ab=0이면 a=0이다’의 참·거짓 문항을 검토할 때, 먼저 답안에서 지운 식과 수정 식을 나란히 복원했다. 처음 기록에는 b=0인 경우를 확인하지 않은 표시가 남아 있었고, 학생은 그 상태로도 문항의 조건을 충분히 살폈다고 판단했다.

답의 앞부분에서 비어 있던 선택

이 문항에서 막힌 지점은 계산 결과가 아니었다. 모든 경우를 다루어 참임을 보이는 증명과, 조건은 만족하지만 결론이 틀린 한 사례를 제시하는 반례가 각각 어떤 역할을 하는지 선택하는 단계가 풀이 기록에서 빠져 있었다.

따라서 ‘ab=0이면 a=0이다’라는 명제가 참인지 판단하려면 b=0인 경우도 함께 살펴야 한다. 예를 들어 a=1, b=0이면 ab=0이지만 a=0은 아니므로 결론을 만족하지 않는다. 이 한 사례는 조건을 만족하면서 결론이 틀림을 보여 주므로 명제가 거짓이라는 반례가 된다.

밑줄 두 개가 풀이의 출발점이 되다

교정할 때는 막연히 천천히 풀도록 요구하지 않고, 명제의 조건과 결론에 각각 밑줄을 긋게 했다. 그 다음 참으로 보일 문항인지, 아니면 조건을 만족하면서 결론을 깨뜨리는 반례를 찾을 문항인지 먼저 정했다.

이 절차를 적용하면 예시를 여러 개 적는 것과 반례를 제시하는 일이 달라진다. 거짓인 명제는 모든 경우를 조사할 필요 없이 조건을 만족하는 한 사례에서 결론이 틀림을 확인하면 되지만, 참이라고 판단할 때는 제시된 조건에서 결론이 따라오는 일반적 논리가 필요하다.

새 명제에서 확인한 독립적인 적용

같은 문항의 답을 외워 다시 쓰는 방식은 사용하지 않았다. 수와 도형 조건이 달라진 새 명제를 제시하고, 학생이 예시를 늘어놓기 전에 증명과 반례 중 필요한 검증 방식을 먼저 고르는지 살폈다.

새 문제에서 먼저 확인할 것은 답의 개수가 아니라 조건과 결론의 구분이다. 조건을 만족하는 사례를 만들었을 때 결론이 틀리는지 살피면 반례가 되고, 한 사례만으로 결론을 뒷받침할 수 없는 문항에서는 증명과 반례의 역할을 다시 구분해야 한다.

사흘 뒤에는 수와 도형 조건이 달라진 자료로 같은 기준을 점검한다. 도움 없이 조건·결론을 표시하고, 그 명제에 필요한 검증 방식을 첫 단계에서 선택한다면 이번 교정이 한 번의 성공에 머물지 않았는지 확인할 수 있다.