진구수학과외

답안에는 전개도에서 직사각형 가로와 원의 둘레를 같은 색으로 이어 둔 표시가 있었다. 그런데 식은 r=6π에서 시작했고, 2πr=6π과 r=3을 구한 줄은 비어 있었다. 겉넓이 계산보다 먼저 확인해야 할 길이의 대응이 식에 반영되지 않은 상태였다.

긴 가로선을 반지름으로 옮긴 판단

학생은 전개도에 보이는 가장 긴 가로 길이가 밑면 원의 크기를 나타낸다고 보고 6π를 반지름으로 사용했다. 하지만 옆면 직사각형의 가로는 원기둥 밑면을 한 바퀴 두른 길이이므로 반지름과 같은 치수가 아니다.

이 문항의 높이는 5cm이고 옆면 직사각형의 가로는 6πcm였다. 따라서 직사각형 가로와 밑면 원의 둘레를 연결해 2πr=6π을 세운 뒤 r=3을 얻어야 했다.

공식보다 먼저 빠져 있던 선분의 역할

기록에서 확인된 원인은 원기둥 겉넓이 공식을 몰라서가 아니었다. 전개도의 한 선분이 어떤 원의 길이와 같은지를 해석하는 단계가 빠졌기 때문에 둘레를 반지름으로 취급한 것이다.

수정한 전개도에는 직사각형 가로와 두 밑면 원의 둘레에 같은 기호를 붙였다. 그 뒤 2πr=6π을 적어 반지름을 먼저 구하고, 밑면 두 개와 옆면을 각각 식으로 분리했다.

면별 계산을 화살표로 남긴 답안

밑면 두 개의 넓이는 2×π×3², 옆면의 넓이는 6π×5로 계산했다. 두 항을 더하면 18π+30π=48πcm²가 된다. 각 계산식 옆에는 해당 항이 두 원 중 하나인지, 펼쳐진 직사각형인지 화살표로 연결했다.

이 표시를 남기면 같은 숫자가 등장하더라도 그 숫자가 반지름인지 둘레인지 다시 구분할 수 있다. 특히 전개도에서 긴 선분을 보았을 때 길이의 크기만으로 역할을 정하지 않고, 맞닿아 있는 원의 둘레와 연결해 판단하게 된다.

10π 전개도에서 먼저 나온 식

조건을 바꾼 새 자료에서는 옆면 가로 10πcm, 높이 4cm인 원기둥 전개도를 사용했다. 학생은 겉넓이 공식을 곧바로 대입하지 않고 2πr=10π을 먼저 세워 반지름을 구했다.

이후 밑면 두 개와 옆면 하나를 분리해 계산했다. 길이와 배치가 달라졌는데도 직사각형 가로와 밑면 둘레의 대응을 첫 행동으로 꺼냈다는 점에서, 수정한 풀이 기준이 새 문제에 독립적으로 적용된 것으로 확인했다.

다음 답안에서 확인할 표시

다음 원기둥 전개도에서도 직사각형 가로와 밑면 둘레를 먼저 표시하고, 2πr에서 반지름을 역산해야 한다. 밑면 두 개와 옆면 하나가 계산식에 각각 대응하며, 넓이의 단위가 cm²로 끝나는지까지 확인하면 풀이 완료로 본다.