침산동수학과외

답안에는 p: x>3, q: x>1인 명제 카드가 놓여 있었다. 수직선을 보면 3보다 큰 범위가 1보다 큰 범위 안에 포함되는데, 학생이 그린 화살표는 넓은 범위에서 좁은 범위로 향하는 q→p였다. 역방향을 시험하는 칸도 비어 있었다.

넓은 범위를 충분조건으로 판단한 까닭

처음 학생은 더 많은 값을 허용하는 범위가 다른 조건을 충분히 보장한다고 보았다. 진리집합의 크기를 기준으로 조건의 역할을 정하면서, 명제가 향하는 방향과 연결하는 과정에서 순서가 뒤집힌 것이다.

이 판단은 드모르간 법칙을 몰라서 생긴 오류가 아니었다. 기록에서 빠진 절차는 p→q와 진리집합 P⊆Q를 같은 방향으로 읽는 일이었다.

P⊆Q에서 p→q까지 한 줄로 잇기

두 조건의 진리집합을 한 수직선에 색을 달리해 표시하면 P={x|x>3}, Q={x|x>1}이고 P⊆Q이다. 따라서 p이면 q가 성립하므로 명제의 방향은 p→q가 된다.

이 방향에서 p는 q의 충분조건이고, q는 p의 필요조건이다. 반대로 q→p가 가능한지 확인하기 위해 x=2를 대입하면 q는 참이지만 p는 거짓이다. 비어 있던 반례 칸에 들어갈 수 있는 값이 역방향의 거짓을 드러냈다.

절댓값 구간에서 다시 꺼낸 기준

이후 조건이 p: |x|<1, q: |x|<3으로 바뀐 새 문제에서 학생은 바로 이름을 정하지 않고 두 구간을 먼저 그렸다. 작은 구간이 큰 구간에 포함되는 모습을 확인한 뒤 p→q만 참으로 표시했다.

q→p의 성립 여부는 x=2를 반례로 적어 확인했다. |2|<3은 참이지만 |2|<1은 거짓이므로 역명제는 성립하지 않는다. 같은 문제를 외운 것이 아니라, 달라진 절댓값 조건에서도 포함 관계와 화살표를 스스로 연결한 기록이었다.

다음 풀이에서 볼 표시

교정이 유지됐다고 판단하려면 정답 개수보다 풀이의 순서를 본다. 새 조건쌍의 진리집합을 구하고, 수직선에서 포함 방향을 표시한 뒤, 그 방향과 명제 화살표를 일치시키는지가 첫 기준이다.

그 다음 역의 성립 여부를 반례로 확인하고, 마지막에 충분조건과 필요조건의 이름을 정확히 붙이면 완료로 본다. 절댓값 구간에서 x=2 반례가 먼저 나온 기록은 이 기준이 새로운 조건에도 적용됐음을 보여 준다.