효자동수학과외

답안 첫 부분에는 도함수 그래프에서 가장 높은 곳을 가리키는 화살표가 있었다. 학생은 그 봉우리를 원함수 f의 극대점으로 표시했지만, x축 위와 아래를 나눈 부호표는 비어 있었다.

당시의 판단 기준은 도함수 그래프의 y값이 클수록 원함수의 값도 크다는 해석이었다. 그래서 f'의 높이를 비교하는 데에는 표시가 있었지만, f'(-1)=0과 f'(2)=0이 원함수의 증감과 어떻게 이어지는지는 답안에 나타나지 않았다.

높이가 아니라 부호가 증감을 결정하는 자리

기록을 따라가면 빠진 것은 그래프 해석 능력 전체가 아니었다. f'의 y값은 원함수 f의 기울기를 나타내고, f가 증가하는지 감소하는지는 f'의 부호로 판단한다는 역할 구분이 빠져 있었다.

수정 답안에서는 x=-1과 x=2를 경계로 구간을 나누고, 각 구간의 f' 부호를 +,-,+로 적었다. 따라서 x=-1에서는 f가 증가하다 감소하므로 극대가 되고, x=2에서는 감소하다 증가하므로 극소가 된다. f'의 가장 높은 y값 자체는 f의 극값을 정하는 기준이 아니므로 옆에 별도로 구분해 두었다.

접하는 새 그래프에서 확인한 판정

같은 기준이 다른 자료에서도 유지되는지는 f'가 한 점에서 x축에 접하지만 부호가 바뀌지 않는 그래프로 확인했다. 학생은 f'=0이라는 사실만으로 극값을 표시하지 않고, 접점의 왼쪽과 오른쪽 부호가 같은지 비교해 그 점을 극값에서 제외했다.

다음 도함수 그래프를 점검할 때는 x축과 만나는 지점, 각 구간의 부호, 그에 따른 원함수의 증감, 극값 여부가 순서대로 연결되는지를 본다. 이 네 단계가 답안에 남아 있으면 그래프의 봉우리나 단순한 영점에 판단이 끌려가지 않았는지 확인할 수 있다.