하단동고등수학과외

고2 서술형 역함수 문제의 수정 전 답안에는 x와 y를 교환한 식만 적혀 있었습니다. 학생은 x와 y를 바꾸면 모든 함수에 역함수가 생긴다고 판단했고, 다른 풀이에서 같은 조건을 사용했는지는 대조하지 않았습니다.

두 답안의 차이를 살펴보니 결과식보다 먼저 확인했어야 할 단계가 빠져 있었습니다. 주어진 정의역에서 함수가 일대일대응인지 확인하지 않은 채 식의 문자만 교환한 것이 실제 원인이었습니다.

학생은 그래프에 수평선을 그어 교점이 하나인지 확인하고, 필요한 경우 정의역을 제한한 뒤 x와 y를 교환했습니다. 이후 식을 다시 y에 대해 정리하여 역함수를 구했고, 두 답안에서 판단이 달라진 한 줄을 비교했습니다.

같은 개념을 다른 순서로 제시한 이차함수 문제에서는 정의역이 달라졌습니다. 학생은 그래프의 수평선 판정으로 역함수가 존재하는 구간을 고른 뒤, 그 조건에서 x와 y를 바꾸고 y에 대해 정리했습니다.

다음 점검에서는 수정 전후 답안에서 판단이 갈린 줄을 학생이 직접 찾는지 확인합니다. 역함수 식을 맞히는 데 그치지 않고 정의역과 일대일 여부를 먼저 기록하는지가 기준입니다.

수평선 판정은 일대일성을 확인하는 방법입니다. 원함수의 치역을 역함수의 정의역으로 삼으면 일대일성이 핵심이며, 별도로 지정한 공역 전체의 역함수를 요구할 때에는 치역과 공역이 같은지도 확인합니다.