신서동고등수학과외

고3 학생이 정적분으로 정의된 함수를 미분하던 중 풀이 이유를 설명하다 멈췄습니다. 기록에는 적분 상한이 g(x)인데 피적분함수에 g(x)만 대입하고 g'(x)를 빠뜨린 미분식이 남아 있었습니다. 학생은 상한이 x의 함수여도 상한만 대입하면 도함수가 된다고 판단했습니다.

멈추기 직전의 기준과 원답을 맞춰 보니, 상한을 대입한 뒤 그 상한을 미분해 곱하는 연쇄법칙의 연결 기록이 없었습니다. 개념을 말로는 알고 있었지만 실제 식의 어느 부분에 적용할지는 풀이 순서로 옮겨지지 않은 상태였습니다.

설명과 계산이 만나는 한 줄에서 미적분의 기본정리를 적용해 피적분함수에 상한을 대입하고, 이어서 상한의 미분을 곱하도록 교정했습니다. 그 기준을 확인한 뒤에만 다음 계산으로 넘어갔습니다.

이후 풀이 이유를 짧게 설명하는 조건을 더한 변형 문항을 제시했습니다. 상한과 하한이 모두 x의 함수인 적분에서 학생은 각각의 항을 미분하고 두 항의 부호를 구분해 식을 완성했습니다.

다음 점검에서는 설명과 계산 사이에 빠진 단계 없이 핵심 기준을 짧게 말하는지 확인합니다. 상한 대입, 상한의 미분, 하한 항의 부호가 한 흐름으로 남으면 해당 판단을 다시 적용할 수 있는 것으로 봅니다.

피적분함수 f가 해당 구간에서 연속이고 상·하한 함수가 미분 가능할 때에는 상한 항 f(g(x))g′(x)에서 하한 항 f(h(x))h′(x)를 뺍니다. 피적분함수 자체에도 x가 들어가는 경우는 이 규칙만으로 처리하지 않습니다.