궁동수학과외

각기둥과 각뿔 칸에 나란히 적힌 식은 모두 30×6이었다. 계산지에는 밑넓이 30cm²와 높이 6cm에 밑줄이 그어져 있었고, 학생은 두 입체의 부피를 각각 180cm³로 기록했다. 각기둥과 각뿔의 이름을 구분한 표시는 없었으며, 부피비 칸도 공란이었다.

처음 판단은 밑넓이와 높이가 같으면 입체 종류와 상관없이 부피도 같다는 기준에 바탕을 두고 있었다. 공식 앞의 1/3을 각뿔의 구조를 나타내는 요소가 아니라 필요할 때 붙이는 보정처럼 본 것이다. 따라서 계산 과정에서 숫자 30과 6은 확인했지만, 어떤 입체의 부피를 구하는지는 식에 반영되지 않았다.

각뿔 식에서 빠진 1/3이 보여 준 것

답안의 오류는 숫자를 잘못 곱한 계산 실수와 달랐다. 각기둥은 밑넓이와 높이를 곱해 부피를 구하지만, 같은 밑넓이와 높이를 가진 각뿔은 그 1/3만큼이다. 따라서 각기둥은 30×6=180cm³, 각뿔은 1/3×30×6=60cm³가 되며, 두 부피의 관계는 3:1이다.

교정할 때는 계산을 시작하기 전에 종이를 ‘기둥’과 ‘뿔’ 두 칸으로 나누었다. 기둥 칸에는 Bh, 뿔 칸에는 1/3Bh를 먼저 적고 B=30, h=6을 대입했다. 두 결과를 구한 뒤 180÷60=3을 계산해 부피비까지 확인했다. 이 순서는 숫자를 대입하기 전에 입체의 종류와 공식을 연결하도록 만든 기록이었다.

모양이 달라진 새 문제에서 남은 표시

다음에는 밑넓이 24cm², 높이 5cm인 삼각기둥과 삼각뿔을 비교했다. 학생은 모양이 바뀐 새 문제에서도 먼저 기둥에는 Bh, 뿔에는 1/3Bh를 나누어 적었다. 그 결과 삼각기둥은 120cm³, 삼각뿔은 40cm³로 계산했고, 두 값의 관계도 3:1로 확인했다.

다음 자료에서 확인할 기준은 정답의 개수보다 풀이의 시작점이다. 새 기둥·뿔 쌍을 받았을 때 입체 이름에 맞는 두 공식을 계산 전에 적었는지, 같은 밑넓이와 높이에서 3:1 관계를 수치로 확인했는지가 완료 기준이다. 두 입체에 같은 식을 썼다면 계산 결과와 관계없이 해당 부분을 다시 살핀다.