금사동수학과외

계산지에는 x=1 경계선 옆의 일부 값이 가려진 채, 오른쪽 식에 1을 대입한 1-a만 남아 있었다. 문항은 f(x)=ax+2 (x<1), x²-a (x≥1)이 x=1에서 연속이 되도록 a를 정하는 문제였다.

비어 있던 a+2 칸이 보여 준 첫 판단

학생은 x=1이 포함된 오른쪽 식을 먼저 사용해 f(1)=1-a를 적고 풀이를 멈췄다. 연속을 ‘값이 이어지는 것’이라고 설명했지만, 답안에는 왼쪽에서 x=1로 다가갈 때의 값이나 두 식을 비교한 흔적이 없었다.

처음의 판단 기준은 경계점에서 함수값 하나를 계산하면 연속 조건을 확인할 수 있다는 것이었다. 따라서 x<1에서 사용하는 식이 x=1에 가까워질 때 어떤 값으로 가는지는 별도의 조건으로 세우지 않았다.

빠진 것은 계산이 아니라 세 항목의 구분이었다

답안의 오른쪽 값과 함수값은 1-a로 연결되어 있었지만, 왼쪽 식에서 얻는 좌극한 a+2는 비어 있었다. 이 기록으로 보아 문제는 계산 실수보다 경계점에서 좌극한, 우극한, 함숫값을 나누어 확인하지 않은 데 있었다.

연속이 되려면 이 문항에서 좌극한 a+2, 우극한 1-a, 함숫값 1-a가 같은 값이어야 한다. 따라서 빠져 있던 식은 a+2=1-a이고, 이를 풀면 a=-1/2가 된다.

수정 칸을 세로가 아닌 세 기준으로 나누다

수정한 답안에서는 경계점 x=1을 기준으로 칸을 ‘왼쪽·오른쪽·함숫값’으로 나누었다. 왼쪽에는 a+2, 오른쪽과 함숫값에는 1-a를 적고, 세 항목이 같아지는 식을 세웠다.

a=-1/2를 구한 뒤에는 세 값에 다시 대입했다. 좌극한은 3/2, 우극한과 함숫값도 3/2가 되어, 답을 얻은 과정과 연속 조건이 맞는지 함께 확인했다.

x=2에서 먼저 만들어진 세 칸

이 기준이 같은 문제의 반복에만 머물렀는지는 새 자료에서 확인했다. g(x)=bx-1 (x<2), x²-3 (x≥2)의 연속 조건을 제시하자 학생은 경계점 2를 먼저 표시했다.

이후 좌극한에는 2b-1, 오른쪽 식과 함숫값에는 1을 나란히 적었다. 2b-1=1에서 b=1을 혼자 결정한 점은, 조건이 달라진 문제에서도 세 항목을 분리하는 절차를 꺼내 쓴 사례였다.

다음 계산지에서 볼 표시

다른 조각함수에서도 경계점마다 왼쪽 식, 오른쪽 식, 실제 함숫값을 분리해 적고 세 값의 일치로 상수를 구하면 풀이 절차가 유지된 것으로 본다. 한쪽 식만 대입하거나, 문제에 없는 미분가능 조건까지 덧붙이면 해당 부분은 다시 점검해야 한다.