대구중구수학과외

답안에는 등비수열 3, -6, 12, -24, …의 여섯째 항을 구하는 식으로 3×2⁵=96이 적혀 있었다. 그런데 앞의 네 항은 양수와 음수가 번갈아 나타나고 있어, 답의 크기와 부호가 서로 맞지 않았다. 첫 기록과 수열의 모양을 나란히 놓고 보면서 어디에서 판단이 달라졌는지 살펴보았다.

절댓값만 남은 첫 식

처음 학생이 사용한 기준은 공비의 크기였다. 공비의 절댓값이 2이므로 항의 크기만 두 배씩 커진다고 보고, 부호는 계산에서 제외해도 된다고 판단한 것이다. 따라서 첫항 3에 2를 다섯 번 곱한 96을 여섯째 항으로 적었다.

이 판단은 항의 크기 변화만 설명할 뿐, 수열에서 실제로 반복되는 부호 변화까지 설명하지 못한다. 답안에는 일반항에 2가 들어가 있었고, 음의 공비를 나타내는 (-2)는 빠져 있었다.

지수 5가 가리키는 부호

기록을 일반항의 구조에 맞춰 다시 읽으면 등비수열의 일반항은 aₙ=a₁rⁿ⁻¹이다. 이 수열에서는 a₁=3, r=-2이므로 여섯째 항은 a₆=3(-2)⁵로 나타내야 한다.

여기서 지수 5는 첫항 이후 공비를 곱하는 횟수다. 음수를 홀수 번 곱하면 부호가 음수가 되므로 크기 96에 음의 부호가 붙어 a₆=-96이 된다. 문제는 등비수열의 합 공식을 몰라서가 아니라, 음의 공비와 지수의 홀짝을 함께 확인하지 않은 데 있었다.

식 옆에 곱셈 횟수를 대응시킨 기록

교정할 때는 첫항 아래에 곱셈 횟수 0을 적고, 여섯째 항까지 0, 1, 2, 3, 4, 5를 대응시켰다. 항 번호 n에서 공비를 곱하는 횟수가 n-1이라는 점을 눈으로 확인하기 위한 표시였다.

그 다음 일반항을 3(-2)ⁿ⁻¹로 쓰고, 계산 전에 지수의 홀짝으로 부호를 먼저 예상했다. 이후 2⁵의 크기를 계산해 96을 구하고, 예상한 음의 부호와 계산 결과를 맞춰 보았다. 이 순서를 사용하면 절댓값의 증가와 부호의 변화를 한 식 안에서 함께 다룰 수 있다.

분수 공비에서도 먼저 적힌 부호

같은 기준이 새로운 수열에서도 나오는지 확인하기 위해 -4, 2, -1, 1/2, …의 여섯째 항을 살폈다. 이번에는 공비 -1/2와 지수 5를 먼저 표시했다.

첫항이 음수이고, 음의 공비를 홀수 번 곱하므로 공비 부분은 음수가 된다. 음의 첫항과 음의 공비 부분이 결합해 여섯째 항의 부호는 양수가 되고, 크기는 4×(1/2)⁵=1/8이므로 a₆=1/8을 얻는다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 숫자와 공비가 달라진 새 수열에서 판단 기준을 혼자 꺼내 적용한 장면이다.

다음 기록에서 확인할 표시

다음 점검에서는 정답의 개수만 세지 않는다. 음의 공비가 있는지, 항 번호에서 n-1을 곱셈 횟수로 적었는지, 지수의 홀짝으로 부호를 먼저 예상했는지, 그 예상과 실제 계산이 일치하는지를 본다.

항 번호가 바뀌거나 공비가 분수로 바뀐 문제에서도 이 네 가지 표시가 남아 있다면, 부호를 계산에서 제외하던 기준에서 벗어나 등비수열의 구조를 풀이에 반영한 것으로 판단할 수 있다.