두정동수학과외

답안에는 x=1 옆에 곧바로 ‘극소’라고 적혀 있었다. 문항의 도함수는 f'(x)=(x-1)²(x+2)였고, 학생은 f'(1)=0이라는 계산만으로 극값을 판단했다.

두 임계점에 같은 부호 변화를 표시한 기록

임계점 목록에는 -2와 1이 모두 적혀 있었지만, 부호표에는 두 점 모두 ‘-에서 +’라고 표시되어 있었다. 이 표시는 도함수가 0이 되는 점마다 증가와 감소가 바뀐다고 본 최초 판단과 연결된다.

그러나 x=1의 양쪽에서는 (x-1)²이 양수이고 x+2도 양수다. 따라서 x=1의 왼쪽과 오른쪽에서 f'(x)의 부호는 모두 +로 유지된다. 도함수가 0이라는 사실만으로 함수의 증가·감소가 바뀌지는 않는다.

중근과 단순근을 나누어 본 뒤 달라진 분류

기록에서 확인된 원인은 임계점의 존재와 도함수 부호 변화를 구분하지 않은 데 있었다. x=1은 (x-1)²에서 생긴 중근이므로 부호 변화가 없고, 극값이 아니다. 반면 x=-2에서는 부호가 -에서 +로 바뀌므로 극소가 된다.

교정할 때는 -2와 1을 수직선에 놓고 각 구간에 대표값을 대입해 부호를 직접 확인했다. x=1 위에는 ‘중근·부호 변화 없음’, x=-2 위에는 ‘-→+·극소’를 따로 적어 임계점과 극값을 분리했다.

새 도함수에서 확인한 독립 적용

새 자료로 g'(x)=(x+1)²(x-3)이 제시되었을 때도 같은 기준을 먼저 꺼냈다. 학생은 x=-1을 중근으로 보고 좌우 부호가 유지되는지 확인한 다음, x=3에서 부호가 -에서 +로 바뀌는 증감표를 만들고 극값을 판단했다.

다음 점검에서는 도함수의 근과 중복도가 달라진 문항에서도 각 근의 좌우 부호를 실제로 표시하는지를 본다. f'=0만으로 극값을 확정하지 않고, 부호가 바뀌는 점만 극값으로 분류하면 이 교정이 유지된 것으로 판단할 수 있다.