반곡지구수학과외

‘9개’라는 답보다 먼저 눈에 들어온 것은 색칠되지 않은 뒤쪽 점선 세 개였다. 투명 직육면체 모형을 돌리기 전 답안에는 앞면과 윗면 주변의 실선만 표시되어 있었고, 보이지 않는 모서리는 없는 선처럼 빠져 있었다.

초등학교 5학년 직육면체 활동에서 학생은 한 위치에서 보이는 선의 개수를 전체 모서리 수로 판단했다. 점선은 입체를 설명하기 위한 보조 표시일 뿐 모서리에 포함되지 않는다고 생각했기 때문에 눈앞의 아홉 개 선만 색연필로 구분하고 ‘9개’라고 적었다.

보이는 면의 선과 입체 전체의 모서리는 달랐다

답안 기록을 자세히 보면 직육면체의 구성 요소를 전혀 모르는 상황은 아니었다. 문제는 보이는 면만 세는 기준을 사용했다는 점이다. 길이·너비·높이처럼 서로 평행한 세 방향의 모서리를 묶지 않았고, 뒤쪽에 있는 점선 세 개를 세는 과정에서 제외했다.

따라서 모형을 보는 방향에 따라 선의 개수가 달라져도 전체 모서리 수는 달라지지 않는다는 구조를 사용해야 했다. 직육면체에서는 평행한 세 방향마다 모서리가 네 개씩 있으므로, 보이는지 여부와 관계없이 세 방향을 모두 확인해야 한다.

색연필 표시를 세 방향 분류로 바꾼 기록

교정할 때는 모서리를 길이 방향, 너비 방향, 높이 방향의 세 기호로 나누었다. 각 방향에 해당하는 모서리를 네 개씩 짝지어 표시하고, 보이지 않는 뒤쪽 모서리는 점선으로 다시 그렸다. 그 뒤 4+4+4=12로 합을 확인해 숨은 모서리까지 포함되었는지 검산했다.

반곡지구수학과외에서 이 기록을 살필 때도 정답 숫자만 확인하지 않고, 학생이 어떤 선을 표시했고 어떤 선을 제외했는지를 먼저 구분할 수 있다. 같은 직육면체라도 그림의 방향이 바뀌면 실선과 점선의 위치가 달라지므로, 한 장면의 모양을 외우는 것보다 방향별 구조를 꺼내는지가 더 분명한 기준이 된다.

기울어진 모형에서 먼저 나온 분류

조건을 바꾼 새 그림에서는 직육면체가 기울어져 실선과 점선의 위치가 달라졌다. 그런데 학생은 이번에 보이는 선부터 세지 않고 세 방향을 먼저 표시했다. 각 방향에서 네 개씩 확인해 전체 12개를 만든 장면은, 이전 답안을 그대로 고친 것이 아니라 달라진 그림에 같은 기준을 혼자 적용한 기록이었다.

다음 점검에서는 모형의 방향이 바뀌어도 평행한 모서리를 세 방향으로 분류하는지 본다. 각 방향의 네 모서리를 빠짐없이 표시하고, 숨은 모서리까지 포함한 합이 12가 되는 근거를 말이나 기호로 남겼다면 이 풀이 절차가 유지된 것으로 판단할 수 있다.