봉덕동수학과외

계산식은 익숙해 보였지만, 고3 학생의 답안 첫 줄에는 X=1만 적혀 있었다. 문항은 성공확률이 0.2인 독립 시행을 5번 할 때 ‘적어도 한 번 성공할 확률’을 묻고 있었고, 학생은 곧바로 정확히 한 번의 확률인 ₅C₁(0.2)(0.8)⁴를 세웠다.

조합계수와 거듭제곱은 맞았지만 사건이 달랐다

답안에서 조합계수와 성공·실패 확률의 거듭제곱은 정확했다. 다만 X≥1이라는 표시도, 여사건 X=0이라는 표시도 없었다. 따라서 계산 과정의 일부가 틀린 것이 아니라, 계산하기로 정한 대상 자체가 문항의 조건과 달랐다.

처음 판단 기준은 ‘한 번 이상’이라는 표현에서 숫자 1을 먼저 읽는 것이었다. 학생은 이항분포 공식을 사용할 수 있다는 점을 확인한 뒤, 1회부터 5회까지를 모두 포함하는지 다시 범위로 옮기지 않았다. 정확히 한 번인 X=1과 한 번 이상인 X≥1이 같은 사건처럼 처리된 셈이다.

숫자 1을 식으로 옮기기 전에 범위를 표시했다

기록에서 확인된 원인은 공식이나 독립시행 개념의 부족이 아니었다. 자연어 조건을 확률변수의 범위로 번역하는 단계가 첫 식 앞에서 빠진 것이었다. ‘적어도 한 번’은 X≥1이며, 0회가 아닌 모든 경우를 직접 더할 수도 있지만 여사건 X=0을 이용하면 더 간단하게 정리할 수 있다.

교정된 답안은 첫 줄부터 달라졌다. 먼저 X≥1을 적고 수직선에 1, 2, 3, 4, 5를 표시한 다음, 여사건을 X=0으로 따로 두었다. 그 뒤 확률을 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(0.8)⁵로 계산했다. 마지막에는 선택한 범위와 제외한 범위가 0회부터 5회까지 빠짐없이 나뉘는지 확인 표시를 남겼다.

조건이 바뀐 새 문항에서 남은 표시

성공확률이 0.3이고 시행 횟수가 4인 새 문항에서 ‘두 번 이상 성공’이 제시되자, 학생은 조합식을 먼저 쓰지 않았다. X≥2를 표시한 뒤 여사건을 X≤1로 정하고, P(X=0)+P(X=1)을 전체에서 빼는 구조를 만들었다.

숫자와 조건이 달라졌는데도 같은 풀이 기준을 꺼낸 점이 확인됐다. 사흘 뒤 점검에서는 부등호, 포함되는 횟수, 여사건의 범위를 계산 전에 스스로 적는지를 본다. 범위와 보완 범위가 겹침 없이 전체 표본공간을 나누고 그 뒤에 알맞은 이항확률식을 사용해야 완료로 판단하며, 정답만 맞은 뒤 X의 범위를 덧붙인 답안은 통과로 보지 않는다.