우두동수학과외

계산지에는 서로 독립인 확률변수 X, Y에 대해 V(X)=4, V(Y)=9일 때 V(2X-Y)를 구하는 문항이 있었다. 학생의 첫 답은 2×4-9=-1이었다. 첫 식에서 2와 -1은 제곱되지 않았고, 분산이 음수가 된 뒤에도 검산 표시는 남지 않았다.

기댓값의 부호를 분산에 옮긴 첫 식

학생은 선형식 2X-Y의 계수와 부호를 분산 계산에도 그대로 적용했다. 기댓값에서는 선형성이 적용되므로 E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)처럼 정리할 수 있지만, 분산은 상수배의 영향을 제곱으로 반영한다. 따라서 V(aX)=a²V(X)라는 규칙을 먼저 분리해 확인해야 했다.

답안의 독립 조건에는 밑줄이 있었지만, 그 조건이 계산에서 어떤 역할을 하는지는 적혀 있지 않았다. 독립인 두 확률변수의 합·차에서는 공분산 항이 0이 되므로 각 분산을 더하는 형태로 정리된다. 이 점을 계수 처리와 따로 표시하지 않은 것이 식의 출발점에서 드러난 원인이었다.

‘계수 제곱’과 ‘독립이면 공분산 0’을 나눈 뒤

교정할 때는 식 위에 ‘계수 제곱’과 ‘독립이면 공분산 0’을 각각 적었다. 그 뒤 V(2X-Y)=2²×V(X)+(-1)²×V(Y)=4×4+1×9=25로 계산했다. 마지막에는 분산이 0 이상인지 확인하고, 기댓값 계산식과 나란히 놓아 부호가 처리되는 방식의 차이도 비교했다.

같은 기준은 조건이 달라진 새 문항에서 다시 확인되었다. 독립인 A, B에 대해 V(A)=2, V(B)=5일 때 V(3A+2B)를 구하는 문제에서 학생은 3²×2+2²×5=38을 적었고, 두 계수를 제곱한 위치를 스스로 표시했다. 같은 문제를 외운 재풀이가 아니라 새로운 계수와 새로운 분산값에 기준을 꺼내 적용한 장면이었다.

다음 점검에서는 정답 숫자만 보지 않고, 독립 조건의 역할을 설명했는지와 계수를 제곱한 뒤 분산을 더했는지를 함께 확인한다. 새 선형결합에서도 0 이상인 값을 얻고, 기댓값 공식을 그대로 옮기지 않았다면 이 교정은 유지된 것으로 판단할 수 있다.