인천운남동수학과외

함수 그래프 옆에 F(x)=∫₀ˣ(t²-4t+3)dt의 극댓값이 생기는 x를 찾는 문제가 놓였다. 수정 전 답안에는 부정적분 공식이 길게 이어졌지만, 계산은 중간에 멈췄고 상한 x와 적분변수 t를 구분한 표시도 비어 있었다.

적분식을 전개해야 한다고 본 첫 판단

학생은 정적분으로 정의된 함수를 먼저 새로운 다항식으로 만든 뒤 극값을 찾아야 한다고 판단했다. 그래서 적분식 전체를 한 번 더 적분하려 했지만, 극값 판단에 필요한 도함수의 부호표는 답안에 나타나지 않았다.

빠진 단계는 적분값 계산이 아니라 F′의 연결이었다

기록을 나누어 보면 문제의 시작점은 계산 과정의 길이가 아니었다. 정적분으로 정의된 함수에 미적분의 기본정리를 적용해 F′(x)=x²-4x+3을 얻고, 이 도함수의 부호가 함수의 증가와 감소를 정한다는 연결이 빠져 있었다.

1과 3을 기준으로 그래프의 방향을 읽다

교정할 때는 상한 x에 표시한 뒤 F′(x)=x²-4x+3=(x-1)(x-3)을 먼저 적었다. 이어 1과 3을 기준으로 도함수 부호를 나누어 +,-,+ 표를 만들었고, 증가에서 감소로 바뀌는 x=1은 극대, 감소에서 증가로 바뀌는 x=3은 극소로 구분했다.

다음 자료에서는 피적분함수와 근이 달라진 G(x)=∫₀ˣ(t²-6t+8)dt가 제시됐다. 학생은 적분값을 전개하지 않고 첫 줄에 G′(x)=(x-2)(x-4)를 만든 뒤 부호 변화를 확인해 x=2를 극대 위치로 정했다. 이후에도 도함수를 먼저 쓰고 영점 전후 부호로 극대·극소를 구분하면 완료로 보며, 적분식을 무조건 다시 적분하는 경우는 재점검한다.