칠전동수학과외

배수 카드에는 처음 12와 18만 적혀 있었다. 학생은 두 수를 각각 12=3×4=6×2, 18=3×6=6×3으로 나타낸 뒤, ‘어떤 자연수가 3의 배수이면 반드시 6의 배수다’라는 주장에 참을 표시했다.

답안에서 눈에 띈 부분은 계산 과정 자체보다 검토 목록의 범위였다. 3의 배수 중 6의 배수가 아닌 수를 찾지 않았고, 조건을 만족하는 사례 두 개가 결론에도 들어맞는다는 이유로 모든 자연수에 대한 주장까지 참으로 넓혔다.

다음 카드에 먼저 나타난 9

작은 수부터 3, 6, 9, 12, 15, 18을 배열하자 9가 처음으로 결론을 깨뜨리는 수가 되었다. 9는 9=3×3이므로 3의 배수라는 조건은 만족하지만, 9=6×자연수로 나타낼 수 없으므로 6의 배수는 아니다.

이 기록을 통해 드러난 원인은 배수 계산을 충분히 하지 않은 데 있지 않았다. 3의 배수를 6으로 나누었을 때 나머지가 0인 경우와 나머지가 3인 경우, 즉 6k와 6k+3으로 나누어 살피지 않은 것이 판단을 막고 있었다.

표시가 바뀐 수정표

수정표에는 3, 6, 9, 12, 15, 18을 순서대로 적고 각각을 6으로 나눈 나머지를 표시했다. 그중 나머지가 3인 9를 골라 조건과 결론을 따로 확인하면서, 맞는 예를 더 모으는 방식보다 주장을 거짓으로 만드는 수를 찾는 절차가 먼저 놓였다.

4n을 먼저 쓴 새 배수 카드

조건을 바꾼 새 카드의 주장은 ‘4의 배수이면 2의 배수다’였다. 학생은 이번에는 4, 8, 12처럼 맞는 예만 반복하지 않고 임의의 4의 배수를 4n=2(2n)으로 바꾸어, 2n이 자연수이므로 모든 경우에 2의 배수라는 결론이 이어짐을 적었다.

다음 배수 주장에서도 조건에 맞는 수의 범위를 먼저 만들고, 거짓이라면 최소 한 반례를 조건과 결론에 함께 표시한다. 참이라면 임의의 배수를 문자식으로 설명하는지 확인할 때 풀이가 끝난 것으로 본다.