단구동고등수학과외

고3 확률 문제를 풀던 학생은 풀이 이유를 설명하다가 한 줄에서 멈췄습니다. 기록에는 동시에 일어나지 않는 두 사건을 독립이라고 적혀 있었고, 학생은 서로 겹치지 않으면 서로 영향을 주지 않는다고 설명했습니다. 그러나 실제 식의 어느 부분에 그 개념을 적용했는지는 드러나지 않았습니다.

설명이 끊긴 위치를 원답과 맞춰 보니, 학생은 교집합이 공집합이라는 조건과 독립의 정의인 P(A∩B)=P(A)P(B)를 구분하지 않고 있었습니다. 배반사건은 두 사건이 동시에 일어날 수 없어 교집합이 공집합인 경우이고, 독립사건은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않아 정의식을 만족하는 경우입니다. 양의 확률을 가진 사건이라면 배반과 독립이 동시에 성립할 수 없다는 점도 계산으로 확인해야 했습니다.

학생은 설명과 계산이 만나는 한 줄에 배반과 독립의 정의식을 나란히 적었습니다. 먼저 P(A∩B)=0인지 확인하고, 이어 P(A)P(B)와 비교해 독립 여부를 판단했습니다. 두 값이 같지 않으면 독립으로 넘기지 않고, 그 이유를 해당 식 옆에 짧게 적은 뒤 다음 계산으로 이동했습니다.

풀이 이유를 짧게 설명하는 조건을 추가한 뒤에는 확률표의 수치를 바꾼 문제를 다시 풀었습니다. 학생은 달라진 각 확률을 대입해 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 직접 비교했고, 동시에 일어날 수 없는지와 서로 영향을 주지 않는지를 별개의 질문으로 나누어 판단했습니다.

다음 점검에서는 설명 문장과 실제 계산식 사이에 빠진 단계가 없는지 살핍니다. 교집합이 공집합과 독립의 곱셈식을 구분하고, 양의 확률을 가진 사건에서 두 조건이 함께 가능한지까지 짧게 설명하면 해당 판단은 마친 것으로 봅니다.

배반은 집합의 관계 A∩B=∅이고 독립은 확률의 관계 P(A∩B)=P(A)P(B)입니다. 두 사건의 확률이 모두 양수이면 배반과 독립이 동시에 성립할 수 없습니다.