개운동수학과외

정수 명제표에는 6, 12, 18이 차례로 적혀 있었고, 옆에는 p→q와 q→p가 모두 참이라는 표시가 남아 있었다. p를 “n은 6의 배수”, q를 “n은 3의 배수”라고 둔 고1 풀이였다. 그런데 p를 만족하는 세 수만 확인했을 뿐, q는 만족하지만 p는 만족하지 않는 수를 찾는 칸은 비어 있었다.

한쪽 화살표의 사례가 두 화살표가 된 과정

학생이 처음 사용한 기준은 여러 예가 같은 방향을 지지하면 역방향도 성립한다는 판단이었다. 6, 12, 18이 모두 6의 배수이면서 3의 배수였기 때문에, 6의 배수이면 3의 배수라는 사실을 두 명제가 서로 같다는 결론으로 넓혔다.

답안의 빈칸은 판단이 시작된 지점을 보여 준다. p를 만족하는 수만 반복해서 적었고, q의 진리집합을 더 넓게 살펴보는 검사는 진행하지 않았다. 따라서 문제는 배수 개념을 몰랐던 데 있지 않고, 두 방향을 분리하지 않은 데 있었다.

n=3 하나가 보여 준 역방향의 한계

q→p를 확인하려면 3의 배수 가운데 6의 배수가 아닌 수를 찾아야 한다. n=3은 q를 만족하지만 p는 만족하지 않으므로 q→p는 거짓이다. 반면 p→q는 n=6k로 나타낼 때 n=3(2k)가 되어 참이다.

이 기록을 바탕으로 p→q와 q→p를 각각 한 줄에 배치했다. 한 방향에는 식으로 증명하고, 다른 방향에는 n=3이라는 반례를 남겼다. 그 결과 p는 q의 충분조건이고 q는 p의 필요조건이라는 이름도 방향에 맞게 붙일 수 있었다.

제곱 관계로 바뀐 새 명제에서 확인한 것

다음에는 조건을 p: a=b, q: a²=b²로 바꾸었다. p→q는 양변을 제곱하여 확인했지만, q→p에는 a=1, b=-1을 대입했다. 두 수의 제곱은 같아 q는 참이지만 a=b는 성립하지 않으므로 역방향의 반례가 된다.

배수 관계와 전혀 다른 표현으로 조건이 바뀌었는데도 학생은 한쪽 사례를 반대쪽 결론으로 옮기지 않았다. 각 화살표에 증명 또는 반례를 배치하고 필요·충분의 이름을 정확히 붙였을 때 다음 풀이를 완료한 것으로 확인할 수 있다.